những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt

Bạn đang xem: Những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt Bạn sẽ xem trăng tròn trang mẫu mã của tài liệu "SKKN một trong những sai lầm thường gặp của học viên khi giải toán trắc nghiệm lớp 12", để mua tài liệu cội về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trên ĐỀ SỐ 4 tiếng anh thpt; GIẢI SÁCH BÀI TẬP Lý thuyết tài chính tiền tệ Các loại quỹ đầu tư - đầu tư tài chính; Download Save. 5 sai lầm thường gặp ở nhà đầu tư ít kinh nghiệm. Course:đầu tư tài chính (ĐTTC1) Lời xin lỗi thường gặp ở hai trường hợp trong cuộc sống. Trường hợp phổ biến nhất, quen thuộc nhất là khi ta làm một điều gì sai trái, dù chỉ là vô ý, nhưng nó làm tổn thương người khác. khi họ mắc phải những sai lầm thì họ rất khó lòng xin lỗi mặc dù biết Dưới đây là những lỗi thí sinh hay mắc phải khiến mất điểm oan trong môn thi Toán của kỳ thi THPT quốc gia. Không đọc kỹ đề bài . Đây là lỗi thường gặp ở thí sinh bởi trong tâm lý khi làm bài thường vội vàng nên đọc lướt nhanh khiến sai đề, hiểu nhầm đề. Bài viết: 26. Những sai lầm của sinh viên khi tìm việc. « vào lúc: 12:10:35 PM Ngày 09 Tháng Năm, 2007 ». Yếu kỹ năng, thiếu tự tin và ứng xử vụng về đều dễ làm bạn trẻ mất điểm trước nhà tuyển dụng. Không tự lượng sức mình, tham vọng quá cao cũng là những sai lầm materi pkn kelas 1 sd semester 2 kurikulum 2013. 1. MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Trong chương trình Toán ở THPT, chủ đề Tổ hợp – xác suất là một chủ đề mới được đưa vào trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới. Vì thế đa số GV chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy nội dung này. Đồng thời chưa có nhiều công trình nghiên cứu về những khó khăn và sai lầm mà học sinh THPT thường gặp. Thực tế cho thấy, đây là một chủ đề khó đối với HS và những bài toán thuộc chủ đề này cũng là những bài toán khó. Ngoài ra, GV chưa chú ý một cách đúng mức đến việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa sai lầm cho HS ngay trong giờ học Toán. Từ những lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp – Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông" đã được vận dụng trong thực tế giảng dạy những năm qua và đem lại niềm yêu thích học tập bộ môn Toán cho học sinh. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất và đề xuất một số biện pháp khắc phục góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đặc biệt đối với những học sinh yếu kém. Đối tượng nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ chọn nghiên cứu những khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất và biện pháp khắc phục. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài. Phương pháp điều tra – quan sát Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra theo các hình thức Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn và các biện pháp khác. Phương pháp thống kê toán học Xử lí số liệu thu được sau quá trình giảng dạy. - Làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm thường gặp ở HS trong giải toán Tổ hợp – Xác suất. Đồng thời phân tích được những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục. Những đóng góp về mặt thực tiễn - Kết quả Sáng kiến kinh nghiệm có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập chủ đề Tổ hợp – Xác suất ở trường THPT. Và làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan đến SKKN. 2. NỘI DUNG Cơ sở lý luận Gần đây, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung đang được bàn đến trên nhiều diễn đàn khác nhau. Người ta đã đề xuất, thử nghiệm nhiều phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả giờ dạy Toán. Nhìn chung, mối quan tâm của các nhà giáo dục đồng thời cũng là mối quan tâm của người thầy dạy Toán là làm thế nào để phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh, gợi được niềm say mê học Toán của các em học sinh trong nhà trường hiện nay?! Đối tượng học sinh Trung học phổ thông của chúng ta có đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi là thích tìm hiểu, sáng tạo. Do đó, người thầy phải đóng vai trò là người dẫn đường tài ba để các em khám phá, sáng tạo. Bên cạnh đó, một trong những mục đích lớn nhất của giờ dạy và học Toán là làm sao tạo được sự hứng thú cho học sinh để giờ học Toán được nhẹ nhàng, thoải mái, sinh động chứ không cứng nhắc, không gượng ép đối với học sinh. Làm được những điều đó là người thầy đã đi đúng định hướng mà điều 24 Luật giáo dục do Quốc hội khóa X thông qua đã chỉ rõ “phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh". "Thống kê toán và Lý thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hêt các ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kỳ thuật, vào quản lí kinh tế và tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao động kĩ sư, bác sĩ, GV, công nhân, nông dân,…" [8]. Lenin đã đánh giá cao giá trị của thống kê "Thống kê kinh tế - xã hội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội". Theo Nguyễn Bá Kim [11] thì "Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh” và “.một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ thông..." Thực trạng của vấn đề Thuận lợi, khó khăn Thuận lợi - Đối với GV Có nhận thức đúng đắn về tầm quan trọng của nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình Toán THPT. Kiến thức của nội dung này được trình bày trong SGK đảm bảo tính logic,... - Đối với HS Nội dung Tổ hợp - Xác suất thường gắn liền với thực tiễn và thiết thực với cuộc sống nên thu hút được sự chú ý của HS. Khó khăn - Đối với GV GV chưa có nhiều kinh nghiệm; Các bài tập trong nội dung này thường không có thuật giải chung cho từng dạng bài. Nội dung kiến thức còn tương đối nhiều trong một tiết dạy,... - Đối với HS HS chưa thật sự hiểu rõ bản chất các khái niệm, quy tắc, công thức, gặp khó khăn trong việc tìm ra phương pháp giải bài tập. Hệ thống bài tập SGK chưa thật sự phù hợp để giúp cho HS trong quá trình tự học của HS... Vậy vấn đề là làm thế nào để gợi được hứng thú cho học sinh học tập môn Toán nói chung và giờ học về chủ đề “Tổ hợp- Xác suất” nói riêng, có thể mỗi giáo viên có những biện pháp và phương pháp khác nhau. Riêng tôi chỉ xin được trình bày một số những khó khăn, sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục mà theo tôi là cơ bản có tác động tích cực đến việc khơi dậy niềm say mê học tập của học sinh. Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT trong giải toán Tổ hợp - Xác suất Một số khó khăn cơ bản của học sinh THPT trong giải toán Tổ hợp - Xác suất khăn do HS chưa có khả năng trực giác xác suất Trực giác xác suất là trực giác Toán học được thể hiện trong nghiên cứu các tình huống Xác suất được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những tình huống trong các mô hình Toán học – Xác suất, lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng Xác suất. Ví dụ Chúng ta xem xét câu hỏi sau Cần mời bao nhiêu người đến tham dự một buổi dạ hội sao cho xác suất để hai người trong số họ có cùng ngày sinh lớn hơn 50%? Bằng trực giác, nhiều HS sẽ suy luận như sau Một năm có 365 ngày không tính năm nhuận, do đó có thể đoán rằng cần phải mời ít nhất 182 người khoảng một nửa của 365 để có hai người có cùng ngày sinh. Tuy nhiên trên thực tế, từ quan điểm Toán học xác suất, chỉ cần 23 người khách mời là đủ. Khó khăn do mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ tổ hợp - xác suất HS vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa. Theo Nguyễn Bá Kim “Trong Toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa” [10]. Ví dụ Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng để chỉ số đối tượng ấy nên HS thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là ”, hoặc “Chỉnh hợp chập k của n là ”, trong khi đó nói đúng phải là “ Số Tổ hợp chập k của n là ”, hoặc “Số Chỉnh hợp chập k của n là ”. Khó khăn trong việc nhận thức các suy luận có lý trong sự phân biệt với suy luận diễn dịch Trong mối liên hệ logic của Toán học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất HS buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào đó cũng tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận diễn dịch. Do đó làm thế nào để HS nhận thức được các suy luận hợp lí trong sự phân biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời làm thế nào để giúp các em sử dụng kết hợp hai suy luận này trong quá trình học Xác suất? Ví dụ Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận diễn dịch nên có HS giải thích như sau Khi biết rằng “Xác suất để bạn H bắn trúng bia khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia. Cách giải thích trên là hoàn toàn sai, để khắc phục sự những khó khăn đó tôi sẽ giải quyết ở phần sau của đề tài. Khó khăn do khả năng dự đoán và liên tưởng Thực tế dạy học hiện nay cho thấy rằng, không ít các GV đã tiến hành giảng dạy mà không đặt ra những tình huống để HS dự đoán lí, do là nếu để cho HS dự đoán sẽ tốn nhiều thời gian. Thực ra, cho HS dự đoán, tự tìm tòi, mò mẫm khám phá tri thức có thể mất nhiều thời gian nhưng sẽ rất có ích cho việc phát triển tư duy độc lập của HS cũng như bản lĩnh của HS trong những tình huống chưa biết cách giải trong Toán học cũng như trong cuộc sống. Sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ thông trong giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp - xác suất Sai lầm về các khái niệm Toán học đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của HS về kiến thức Toán học trước hết đó là sự “mất gốc” về các khái niệm. Ví dụ Trong một đội văn nghệ có 35 nam và 24 nữ. Cần chọn hai người, một nam và một nữ đi biểu diễn trong lễ kỉ niệm mừng ngày Quốc khánh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Lời giải sai áp dụng quy tắc cộng cho rằng 35 + 24 = 59 cách chọn. Sai lầm Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân và ta có 840 cách chọn. Nếu chỉ chọn một người thì mới áp dụng quy tắc cộng. Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc, định lý để vận dụng vào giải toán Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khi vận dụng vào giải Toán HS rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm. Ví dụ Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy. Lời giải sai Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10, nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là cách. Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ cách Vậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là Sai lầm Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt HS thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau * Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa Ví dụ Sau khi biết 1, HS có thể chứng minh được công thức 2 bằng cách áp dụng trực tiếp công thức 1. Tuy nhiên, ít HS có thể thấy được 2 một cách trực giác và chứng minh 2 bằng định nghĩa của , HS không hiểu bản chất là, một tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k phần tử thì cũng sẽ có bấy nhiêu tập con gồm phần tử. * Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để chỉ đối tượng ấy. Theo A. A. Stôliar, không ít HS còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ Toán học. VD như HS thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là ”,... Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng. HS thường gặp những khó khăn và sai lầm khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp. Nhìn từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải Toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện HS gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp. Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương HS thường mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằng các phép biến đổi tương đương. Ví dụ Giải phương trình Lời giải sai Ta có phương trình tương đương với . Vậy phương trình có 3 nghiệm. Sai lầm Lời giải trên còn thiếu điều kiện x N và x 3 nên phương trình trên chỉ có 1 nghiệm là x = 4. Sai lầm liên quan đến trực giác Trực giác là năng lực nhận thức được chân lí bằng cách xét đoán trực tiếp không có sự biện giải bằng chứng minh. Trực giác toán học được hiểu với nhiều ý nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau. Một số biện pháp khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp Định hướng xây dựng một số biện pháp khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông - Định hướng 1 Hệ thống các biện pháp được xây dựng dựa trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình, SGK, các tài liệu chuyên đề và các nguyên tắc dạy học. - Định hướng 2 Hệ thống các biện pháp được xây dựng phải dựa trên định hướng đổi mới PPDH hiện nay; tạo cho HS có một môi trường hoạt động tích cực, tự giác, sáng tạo. - Định hướng 3 Hệ thống các biện pháp được xây dựng phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học. - Định hướng 4 Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm đúng mức tới việc tăng cường hoạt động cho người học, phát huy tối đa tính tích cực, độc lập cho người học. Một số biện pháp khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông Biện pháp 1 Rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất và ý nghĩa của các khái niệm, quy tắc, ký hiệu trong sách giáo khoa từ đó vận dụng trong giải toán Tổ hợp - Xác suất Khi dạy các công thức về tổ hợp, có thể HS rất lúng túng khi nhớ các công thức tính , , , nhờ đó ta có thể đặt câu hỏi Có cách gì để nhớ được các công thức trên mà không bị nhầm lẫn? Để trả lời cho câu hỏi đó HS sẽ phải tích cực suy nghĩ tìm ra cách nhớ nhanh nhất và thầy giáo có thể nhận được rất nhiều phương án. Cũng nhờ quá trình tìm tòi đó HS đã nhớ công thức rồi. Sai lầm phổ biến của HS trong giải toán Tổ hợp là hay nhầm lẫn giữa các quy tắc nhân và cộng, lúng túng không biết khi nào sử dụng chỉnh hợp và khi nào sử dụng tổ hợp. Biện pháp 2 Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Tổ hợp - Xác suất Khi ra một bài toán nào đó không riêng về toán Tổ hợp và Xác suất thì trong suy nghĩ của người GV tự hỏi ra để làm gì? mục đích của nó? Cần chọn một bài rất cơ bản và thật sự cơ bản giảng cho hiểu sau đó nâng nó lên và dần đến tổng quát hoá và cố gắng chọn bài nào cho có nhiều mối liên hệ với nhiều bài khác để các em cùng xây dựng. Trong chừng mực nào đó phương pháp nói sao cho truyền cảm đúng chỗ; nhấn mạnh đúng lúc; chỉ cho các em chỗ hay, chỗ thiếu tự nhiên trong giải bài toán trên; nó sai ở đâu và vì đâu mà sai? Thường xuyên tìm hiểu rộng cách giải của HS và khai thác chúng; nếu thấy nó khá hiệu quả nên khen với tình cảm thân mật. VD Các em xem lại cách giải của bạn thấy thế nào? bạn đã khai thác ra sao? Các em có hứng thú với cách giải đó không?. . . Cuối cùng là khích lệ HS. Làm như thế chúng ta đã phát huy được tính tích cực hoạt động học tập của HS. Ví dụ Sau khi đã biết khi gieo một con xúc xắc đối xứng một lần thì xác suất xuất hiện của mỗi mặt là . Yêu cầu HS làm bài tập sau Tính xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập không có lần nào xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Để giải bài này, GV hướng dẫn HS bằng những câu hỏi Hãy tính xác suất để khi gieo con xúc xác một lần không xuất hiện mặt có số chấm chẵn? bằng Yêu cầu của bài là gieo 6 lần độc lập, hãy liên tưởng đến quy tắc nhân xác suất? Từ đó HS sẽ tính được xác suất là Yêu cầu cao hơn với bài toán Gieo đồng thời hai con xúc xắc 24 lần độc lập. Tính xác suất để ít nhất có một lần cả hai con đều ra “lục”. Trước hết ta xét khi gieo đồng thời hai con xúc xắc 1 lần Tính số phần tử của không gian mẫu? bằng = 36 Xác suất để khi gieo đồng thời hai con xúc xắc 1 lần mà không có con nào ra “lục” là Gọi A là biến cố “ít nhất một lần cả hai con đều ra “lục””, khi gieo đồng thời hai con xúc xắc 24 lần Khi đó yêu cầu HS phân tích các trường hợp xảy ra của bến cố A và nhận xét, HS sẽ thấy rằng nếu tính trực tiếp xác suất của biến cố A thì rất phức tạp, nhưng có thể tính được dễ dàng xác suất của biến cố , đó là P = , suy ra được Biện pháp 3 Xác định và tập luyện cho học sinh thuật giải một số dạng toán Tổ hợp - Xác suất và vận dụng quy trình giải toán của G. Polia Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt trong dạy học giải bài tập toán. Trong môn toán nói chung và chủ đề Tổ hợp – xác xuất nói riêng, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải. * Xác định quy tắc thuật giải một số dạng toán GV có thể xác định và tập luyện cho HS một số quy tắc thuật giải và tựa thuật giải để HS giải toán. Chẳng hạn với dạng toán tính xác suất, có thể áp dụng 2 thuật giải sau a. Thuật giải áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất Bước 1 Tính số phần tử của không gian mẫusố khả năng xảy ra. Bước 2 Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét số kết quả thuận lợi. Bước 3Tính xác suất theo công thức b. Thuật giải áp dụng các qui tắc tính xác suât * Bước 1 Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là sao cho Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố . Xác xuất của các biến cố là tính đượcdễ hơn so với A Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố . * Bước 2 Biểu diễn biến cố A theo các biến cố . * Bước 3 Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng qui tắc 1 Nếu xung khắc 2 Nếu đối nhau 3 Nếu độc lập Chú ý A và B độc lập thì cũng độc lập và A và B độc lập . * Hướng dẫn học sinh kỹ năng giải bài toán Tổ hợp – xác suất theo quy trình của G. Polya G. Polya đã từng viết “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh”. Quy trình 4 bước của G. Polya như sau [33] - Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán. - Bước 2 Xây dựng chương trình giải cho bài toán. - Bước 3 Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2. - Bước 4 Nghiên cứu sâu về lời giải. Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể sẽ góp phần tập cho HS xây dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Bản chất của việc này là làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức. Biện pháp 4 Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất cho học sinh - Giai đoạn trước khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề hay giải một bài toán GV hướng dẫn HS phân tích, đánh giá tình huống xác suất cụ thể và các khái niệm, mệnh đề bằng các phương pháp trực quan trước khi định nghĩa khái niệm, chứng minh mệnh đề đó. - Giai đoạn trong quá trình định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề, giải một bài toán Trong giai đoạn này GV giúp HS củng cố mối liên hệ giữa nội dung của cách giải quyết vấn đề với những điều mà các em đã thấy trước bằng trực giác để xác nhận. - Giai đoạn sau khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề, giải một bài toán GV hướng dẫn HS cách phân tích, đánh giá kết quả vừa thu được; liên hệ với các tình huống thực tế khác nhau. - Giai đoạn trước khi chứng minh Trước khi thực hiện chứng minh cần cho HS tập phân tích và đánh giá các tình huống được bao hàm trong tính chất cần chứng minh. - Giai đoạn chứng minh Từ những điều trên HS có thể phác hoạ được các bước chứng minh và từ đó “thấy trực tiếp” đường lối chứng minh. Do đó trực giác xác suất của HS được hình thành. - Giai đoạn sau chứng minh GV hướng dẫn HS liên hệ kết quả thu được với các tình huống thực tế khác nhau. Biện pháp 5 Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh khi giải toán Tổ hợp - Xác suất Ví dụ Chứng minh rằng khi thực hiện một số lớn lần lai hai cơ thể bố, mẹ thuần chủng khác một cặp tính trạng tương phản, và xét trong trường hợp trội hoàn toàn, thì ở thế hệ con lai thứ hai F2 đều có biểu hiện cả tính trạng trội lẫn tính trạng lặn theo tỉ lệ trung bình 3 trội, 1 lặn. Việc hướng dẫn HS giải bài tập này được thực hiện như sau Khi sử dụng các suy luận hợp lí, có thể phân tích kết luận của bài toán theo cách sau đây “Theo tỉ lệ trung bình 3 trội, 1 lặn” có nghĩa là Về trung bình, cứ 4 con lai ở thế hệ con lai thứ 2 được sinh ra thì có 3 con mang tính trạng trội, 1 con mang tính trạng lặn. Do đó ý nghĩa thống kê của xác suất thể hiện ở chỗ Xác suất xuất hiện tính trạng trội ở bằng ; xác suất xuất hiện tính trạng lặn ở bằng 1/4. Biện pháp 6 Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với những khó khăn và sai lầm, từ đó có các phản ví dụ cần thiết để học sinh điều ứng sơ đồ nhận thức đã có Trước khi đưa ra bài toán để thử thách sai lầm của HS, dĩ nhiên GV cần có một sự hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ kia HS có thể mắc sai lầm. GV cần lưu ý rằng không nên lặp lại quá trình nhiều lần đối với một vấn đề vì như vậy sẽ tạo ra tính ỳ, mất hứng thú cho HS. Ví dụ Một tổ có 12 HS nữ và 10 HS nam. Cần chọn ra 6 HS 3 nam, 3 nữ để ghép thành 3 đôi biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép? Lời giải 1 - Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là , chọn 3 nam trong 10 nam là . Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là . Lời giải 2 - Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là ,chọn 3 nam trong 10 nam là , vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là . Lời giải 3 - Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là , chọn 3 nam trong 10 nam là . Vậy số cách chọn 6 HS 3 nam, 3 nữ là . - Vì một đôi có hai bạn 1 nam, 1 nữ nên chọn ra 1 bạn nam trong 3 bạn nam và một bạn nữ trong 3 bạn nữ thì có = 9cách - Vậy số cách chọn thoả mãn là 9 . cách Lời giải 4 - Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là , chọn 3 nam trong 10 nam là . Vậy số cách chọn 6 HS 3 nam, 3 nữ là . - Trong 6 HS chọn ra thì có 3! cách ghép giữa các đôi này với nhaulà hoán vị của 3 HS nam hoặc của 3 HS nữ - Vậy số cách chọn thoả mãn là 3! . cách Đâu là lời giải đúng? Phân tích - Lời giải 1 Sai vì bài toán ko yêu cầu thứ tự. Lời giải 2 Thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi. Lời giải 3 Có vẻ như đúng, tuy nhiên ở bước cuối đã nhầm lẫn việc chọn ra 3 đôi với việc chỉ đơn thuần chọn ra 1 nam và 1 nữ. Lời giải 4 Là lời giải đúng. Hiệu quả thực hiện Trên đây là nội dung chủ yếu về những khó khăn, sai lầm và các biện pháp sư phạm góp phần khắc phục khó khăn, sửa chữa sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán của HS trong quá trình học tập về chủ đề “Tổ hợp - Xác suất” ở trường THPT. Trong những năm qua, bằng việc trực tiếp giảng dạy, khơi gợi sự liên tưởng, tưởng tượng cho học sinh qua việc hướng dẫn học sinh giải những bài toán thực tế và xây dựng hệ thống câu hỏi phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh, tôi đã đạt được hiệu quả nhất định trong giờ dạy. Các em học sinh không còn thái độ chán nản khi đến giờ toán nữa mà ngược lại các em rất hào hứng trong việc chuẩn bị bài, làm theo các yêu cầu mà thầy cô hướng dẫn. Trong lớp, các em chăm chỉ theo dõi bài và hăng hái phát biểu ý kiến để xây dựng bài, giờ học toán không còn nặng nề, uể oải như trước đây. Có những tiết học trống đã báo hiệu ra chơi nhưng bài giảng chưa hết các em vẫn say sưa theo dõi. Qua phiếu điều tra 3 lớp 10A4, 10A5, 11A4 năm học 2014 – 2015 và năm học 2015-2016 cho thấy có tới 90% học sinh của 3 lớp này rất thích học giờ toán. Chính sự say mê học tập đã giúp cho các em tiếp nhận kiến thức một cách sáng tạo nên khi làm các bài kiểm tra, kết quả bài làm của các em được nâng lên rõ rệt. Qua khảo sát chất lượng môn toán ở 3 lớp 10A4, 10A5, 11A4 với tổng số 135 em học sinh, tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan như sau Thời gian Học lực giỏi Học lực khá Học lực TB Học lực Yếu Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng % Đầu năm 0 0 5 4 110 82 20 14 Cuối kì I 5 4 10 7 110 82 10 7 Cuối kì II 7 5 26 20 100 74 2 1 Như vậy, số lượng, tỉ lệ học sinh giỏi và học sinh khá đã tăng lên rõ rệt. 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Qua quá trình áp dụng các biện pháp tạo hứng thú cho học sinh trong giờ học toán, bản thân tôi tự rút ra cho mình bài học kinh nghiệm sau - Về phía người giáo viên Trước tình hình chán học môn Toán như hiện nay của nhiều học sinh Trung học phổ thông nói chung, học sinh lớp 10, lớp 11 nói riêng, mỗi người thầy dạy Toán chúng ta phải có trách nhiệm làm cho giờ dạy của mình phải có sức hấp dẫn học sinh, gợi được hứng thú cho học tập cho các em. Thầy phải nhiệt tình, tận tuỵ, chu đáo, kiên trì, đúng mực. Đồng thời, thầy phải thấy rõ tầm quan trọng của việc tạo hứng thú học tập bộ môn do mình giảng dạy cho học sinh, tạo môi trường học tập thân thiện, phát huy năng lực tự học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh. Để làm cho giờ dạy ngày càng hấp dẫn, mỗi giáo viên dạy Toán phải không ngừng tự học, tự bồi dưỡng và tìm tòi sáng tạo để mở mang vốn tri thức, bổ sung cho bài giảng trở nên có sức lôi cuốn hơn. Đặc biệt, phải đầu tư thời gian cho việc soạn bài, nghiên cứu, tìm ra phương pháp giảng dạy tối ưu cho từng giờ dạy, tiết dạy. Thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để học hỏi kinh nghiệm về phương pháp giảng dạy để tìm ra cách dạy hay và hấp dẫn cho mình. - Về phía học sinh Các em phải siêng năng, chăm chỉ, không ngừng học tập để nâng cao năng lực tự học của mình. Đồng thời, phải biết coi trọng bộ môn, xoá bỏ cái nhìn phiến diện đối với môn Toán và có nhận thức đúng đắn học Toán là học cách để làm người và phục vụ cuộc sống của chúng ta. Lời kết Việc tạo hứng thú cho học sinh trong giờ toán có thể tiến hành bằng nhiều cách, nhiều hình thức, nhiều con đường khác nhau. Song, để học sinh yêu thích học môn Toán nói chung và nâng cao được chất lượng giờ học “Tổ hợp- xác suất” nói riêng là một việc làm đòi hỏi cả thầy và trò đều phải có sự nỗ lực không ngừng. Bởi khác với những môn học khác, đây là môn khoa học cơ bản nên đòi hỏi giáo viên và học sinh không chỉ cần đến trí tuệ mà còn phải phát huy tính cần cù, chịu khó và phải thực hành nhiều thông qua việc giải bài tập không chỉ trên sách vở mà còn cả ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Muốn làm được điều đó, người giáo viên phải nghiên cứu, tính toán, nghiền ngẫm công phu qua từng công đoạn, qua mỗi khâu, mỗi biện pháp, cách thức, khơi dậy niềm đam mê, bồi dưỡng trí tuệ, tâm hồn, giúp các em chủ động, sáng tạo khi gặp một chủ đề mới trong toán học. Vậy với đề tài này, tôi mong muốn tìm ra những biện pháp để tổ chức giờ dạy đạt hiệu quả cao. Vì trình độ người viết có hạn, kinh nghiệm viết còn ít ỏi, chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp. Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Người viết Lê Thị Yến TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đặng Thị Thủy, Trịnh Trọng Trung 2012, Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp – Xác suất của học sinh THPT, Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt 11/2012, trang 155 – 156. 2. Sách giáo khoa; sách bài tập Đại số lớp 10; 11. Cô Thư cho hay trong đề thi vào lớp 10 môn Toán có sự phân loại rõ học sinh khá giỏi từ mức điểm 7,5; 8; 8,5... Để đạt được kết quả cao, học sinh cần nắm chắc kiến thức và tránh được những sai lầm đáng tiếc. Với kinh nghiệm chấm thi vào 10 nhiều năm gần đây, theo cô Thư, một số lỗi cơ bản học sinh thường gặp trong quá trình làm bài đó là đọc sai đề bài, bỏ sót yêu cầu bài toán, tính toán sai, vẽ hình sai, nhớ nhầm công thức, định lý hoặc trình bày vắn tắt, bỏ qua bước dẫn đến mất điểm. Cô Minh Thư chỉ ra một số lỗi theo từng chuyên đề, cụ thể như sau Với dạng toán rút gọn biểu thức, trong đề thi nằm ở câu 1, khi biến đổi các học sinh cần chú ý đến điều kiện xác định của biểu thức. “Câu này học sinh sẽ thường làm tốt 2 ý đầu; ý cuối 0,5 điểm để phân loại học sinh đạt mức 8 điểm, thường các em sẽ gặp khó khăn. Ý này hay gặp ở một số dạng bài như tìm giáo trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị nguyên của biểu thức,... Với dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, rất nhiều học sinh quên điều kiện, đặt sai điều kiện khi gọi ẩn hoặc có thể các em không đọc kỹ đề nên các đơn vị đại lượng chưa thống nhất với nhau, khi kết luận chưa đối chiếu điều kiện nên kết luận sai. “Với dạng toán này các em nên ôn tập theo từng dạng bài cụ thể như bài toán chuyển động, bài toán làm chung công việc, bài toán năng suất...”, cô Thư tư vấn. Cô Nguyễn Thị Minh Thư, Tổ trưởng Tổ Toán Trường THCS & THPT Khương Hạ. Còn với dạng bài đồ thị hàm số, phương trình bậc hai, học sinh có thể mắc phải một số lỗi trình bày, tính toán sai, nhớ nhầm công thức. Ý này thường được hỏi tìm điều kiện của tham số m để thỏa mãn 1 đẳng thức dựa vào định lý Vi-et hoặc điều kiện đường thẳng cắt Parabol thoả mãn yêu cầu nào đó,… Với ý này để phân loại học sinh ở mức trên 8 điểm, các em cần nắm vững một số dạng bài quen thuộc. Về phần hình học, thường các học sinh làm tốt 2 ý đầu, tuy nhiên vẫn cần chú ý ở một số điểm như Vẽ hình chính xác, ký hiệu đầy đủ, chỉ đường tròn mới được vẽ bằng bút chì, các đường khác phải vẽ cùng màu với chữ viết. Khi thêm điểm phải giới thiệu điểm đó trong bài. Không vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt dễ gây ngộ nhận. “Các em cũng cần trình bày bài làm một cách đầy đủ, không làm tắt các bước. Ý cuối câu hình phân loại học sinh điểm 9. Câu này mức phân loại học sinh khá cao và số đông học sinh không hoàn thành được. Ý này thường gặp ở các dạng bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ba điểm đồng quy, tập hợp điểm thuộc đường cố định, cực trị hình học.... Mấy năm gần đây, trong đề thi còn có thêm một ý nhỏ về phần hình học không gian. Với ý này các em cần nhớ chính xác công thức tính về thể tích, diện tích của một số hình cầu, trụ, hộp chữ nhật,...”, cô Thư chia sẻ. Câu cuối cùng của đề thi thường dùng để phân loại học sinh giỏi. Đây thường là câu khó nhất trong đề thi, phần lớn học sinh không làm được. Câu này thường gặp các dạng bài về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. “Để đạt được kết quả cao trong kỳ thi vào 10 công lập, các thí sinh cần nắm chắc kiến thức, tập trung ôn luyện để rèn kỹ năng trình bày, giải toán và lưu ý tránh những sai lầm không đáng có”, cô Thư đưa lời khuyên và hy vọng các thí sinh sẽ có bài thi với điểm số tối đa. Thanh Hùng ghi Thủ khoa lớp 10 Hà Nội chia sẻ cách ôn tập trong tuần nước rútChỉ còn vài ngày nữa, các sĩ tử sẽ bước vào kỳ thi lớp 10 công lập tại Hà Nội. Trần Tùng Bách, thủ khoa lớp 10 năm 2021 cho rằng, thay vì “cày ngày cày đêm”, đây là lúc các thí sinh cần có chiến lược cụ thể để ôn tập hiệu quả. Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm - Tích phân và cách khắc phục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênMỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1. Phần mở đầu 1 2 Lý do chọn đề tài 2 Phạm vi nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 3 Mục tiêu nghiên cứu 3 2. Phần nội dung 4 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 4 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 5 Giải pháp thực hiện 5 Nội dung cụ thể 7 Những kiến thức liên quan 7 1. Nguyên hàm 7 2. Phương pháp tính nguyên hàm 8 3. Tích phân 9 a. Định nghĩa tích phân 9 b. Tính chất của tích phân 9 c. Phương pháp tính tích phân 9 4. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục 10 a. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 10 b. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 11 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 11 a. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 11 b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 12 c. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 13 d. Sai lầm khi đổi biến số 14 Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải 16 a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 16 b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 17 V. Kết quả 18 C. Kết luận và kiến nghị 20 1. Kết luận 20 2. Đề xuất và kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 22 Đề tài “PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” 1. PHẦN MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” . Trong những năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, bản thân tôi luôn nhận thấy và rút ra được kinh nghiệm từ các sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải do mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Học sinh của trường đa phần là học sinh trung bình, yếu. Có một số ít là học sinh khá, giỏi. Nên việc làm bài hay mắc sai lầm không đáng có trong giải Toán càng nhiều, nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức, thậm chí có những em thuộc công thức nhưng vận dụng vẫn sai, đó là thực trang chung học sinh của trường, dẫn đến kết quả của các bài kiểm tra không được cao. Do đó đề tài tôi quan tâm ở đây là Nhằm giúp học sinh khối 12 của Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần là trung bình, yếu và có số ít khá giỏi, giúp các em tránh những sai sót không đáng có. Trong giảng dạy tôi thường hay đưa ra các sai lầm mà học sinh các khóa trước để lưu ý cho các em biết tránh sai lầm kiểu tương tự. Đặc biệt trước và sau kiểm tra tôi luôn nhắc để học sinh lưu ý. Khi trả bài kiểm tra thường chỉ ra những sai lầm tồn đọng và cách khắc phục. Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, tính diện tích, thể tích. của các hình rất phức tạp mà các phương pháp khác không giải được. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống tránh được những sai lầm thường gặp trong giải toán, để đạt được kết quả cao hơn khi học toán nguyên hàm tích phân và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là cũng cố về mặt kiển thức, kỷ năng giải bài toán Tích phân một cách logic. Từ đó phát huy hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú cho các em. Đối tượng nghiên cứu Tôi cùng đồng sự của tôi nghiên cứu học sinh khối 12 trong các năm 2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 và năm 2016-2017– Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống. Phạm vi nghiên cứu Phân tích các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình giải toán trong Giải tích 12 2. PHẦN NỘI DUNG Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Khi giảng dạy môn Toán ở Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy nhiên đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mắc sai lầm hoặc không giải được phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở các lớp mà tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, kém là đa số, còn lại là một bộ phận ít học sinh khá, giỏi. Nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục a. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục. b. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải như - Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz; - Đổi biến số t = ux nhưng ux không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận không tìm được giá trị chính xác; - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần. 3. Giải pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng; - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp và cách khắc phục. - Thao tác tư duy phân tích, so sánh, lô gic...; - Kỹ năng lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân cơ bản. - Cách khắc phục Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính chất nguyên hàm và tích phân. Đổi mới phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh; - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn học đảm bảo được các mức dộ như - Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản; - Phân dạng bài tập và phương pháp giải; - Đưa ra các bài tập tương tự. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. 4. Nội dung cụ thể Những kiến thức liên quan Nguyên hàm a. Định nghĩa Cho hàm số fx xác định trên K K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu với mọi x thuộc K. b. Định lí * Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số Gx = Fx +C cũng là một nguyên hàm của fx trên K. * Ngược lại, nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K đều có dạng Fx+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của fx là . Khi đó C hằng số c. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 Tính chất 2 k là hằng số khác 0 Tính chất 3 d. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Định lí Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì Hay viết gọn là Tích phân a. Định nghĩa tích phân Cho fx là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn [a ; b]. Hiệu số Fb − Fa được gọi là tích phân từ a đến b hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số fx, kí hiệu là Khi đó Công thức Newton – Leibnitz b. Tính chất của tích phân Tính chất 1 k là hằng số Tính chất 2 Tính chất 3 với c. Phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số có đạm hàm liên tục trên sao cho , và với mọi Khi đó * Phương pháp tích phân từng phần Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây Định lý Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì Hay viết gọn là Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục a. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 1. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng công thức với ≠ – 1 thay vì công thức với ≠ – 1 * Lời giải đúng Hoặc cách giải khác Đặt => Thay u=3x+1 vào ta được I= *Khắc phục Yêu cầu học sinh thuộc và hiểu để vận dụng đúng công thức b. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ 2. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng với C = C1 – C2. Ví dụ 3. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm . Đặt Vô lý * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du Thay u= cosx vào ta được Ví dụ 4. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Các em nhầm kiến thức nguyên hàm và đạo hàm, rất em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này . * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm của sinx và cosx. Để phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx và cosx. * Các bài tập tương tự a b c d 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm Ví dụ 5. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Lời giải đúng Ví dụ 6. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng thay vì * Lời giải đúng Có thể hướng dẫn các em giải cách khác Đặt * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợp tưng ứng với . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân Ví dụ 7. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm không xác định tại * Lời giải đúng Hàm số không xác định tại suy ra hàm không liên tục trên , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên * Cách khắc phục Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo thói quen Khi tính cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = fx có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c c. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân Ví dụ 8. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Cách làm Biểu diễn về dạng - Chọn u sao cho du dễ tính - Chọn dv sao cho dễ tính - Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm từng phần sau u Px Px Px lnx dv Pxdx * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d. Sai lầm khi đổi biến số Ví dụ 9. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt . Ví dụ 10. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu nhầm, cũng khá nhiều em quyên không ghi dx vào * Lời giải đúng Đặt Ví dụ 11. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt x = sint dx = costdt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt x = sint dx = Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số đổi biến và đổi cận. Khi gặp tích phân dạng , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = hoặc x = đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t Ví dụ 12. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt t = 2x + 1 Đổi cận * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt * Lời giải đúng Đặt ; Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e f Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phânĐể khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số Ví dụ 13. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh sử dụng phép biến đổi sai với thay vì dùng với * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng thì dùng phép biến đổi n ≥ 1, n nguyên. Khi đó ta phải xét dấu hàm số fx trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số Ví dụ 14. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi sử dụng công thức thay vì công thức * Lời giải đúng Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. = Hoặc cách khác Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx u0 = 1, u = 0. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng đúng công thức, tránh chủ quan, nóng vội. Trên đây là một số sai lầm mà học sinh mắc phải khi tính tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ VÀ VÔ TỈ Người thực hiện Phạm Thị Hằng Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc môn Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 1. MỞ ĐẦU ……………………………………………………………. 2 Lí do chọn đề tài …………………………………………………... 2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………………. 2 Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………... 2 Phương pháp nghiên cứu ……………………………………..….... 2 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………………... 2 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………. 2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm … 3 Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ ………………………………………………….. 3 Sai lầm khi không nắm vững định nghĩa tích phân ……………... 3 Sai lầm khi sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp ……………………………………………………………………… 4 Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm ……………... 5 Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân ……………….... 9 Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số …………………. 11 Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần ……….. 14 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ……………………………… 17 3. KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………….. 17 Tài liệu tham khảo 19 1. MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Toán học là nền tảng của mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khóa vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho các ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế, quân sự và trong cuộc sống. Giải tích toán học nghiên cứu về các khái niệm Giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân,... Phép toán cơ bản của giải tích là “Phép lấy giới hạn”, các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường trừu tượng hơn trong đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học giải tích nói chung và nguyên hàm, tích phân nói riêng. Bên cạnh đó trong đề thi THPT Quốc Gia, bài toán nguyên hàm, tích phân là không thể thiếu. Trong thực tế, đa số học sinh tính nguyên hàm, tích phân đặc biệt là nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ một cách hết sức máy móc đó là Tìm nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến hàm số đó có xác định trên miền lấy nguyên hàm, tích phân hay không ? Phép biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm, tích phân có tương đương không ? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không ? Sử dụng phương pháp tích phân từng phần có hợp lí không ? Vì thế trong quá trình tính nguyên hàm, tích phân học sinh mắc phải rất nhiều sai lầm mà chưa có tài liệu nào giúp các em tránh được những sai lầm đó. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nói trên và đạt được kết quả cao trong kì thi THPT Quốc Gia, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ”. Mục đích nghiên cứu - Giúp bản thân tự học hỏi, tự nâng cao kiến thức về phần này. - Vận dụng vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là ôn cho học sinh thi THPT Quốc gia. - Giúp học sinh nắm vững kiến thức, đạt kết quả cao trong quá trình học tập. Đối tượng nghiên cứu Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, lựa chọn các ví dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. - Thực nghiệm sư phạm. - Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng. Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Người giáo viên, với vai trò chủ thể tác động sư phạm phải biết thiết kế và tổ chức quy trình dạy học như xác định mục tiêu, nhiệm vụ dạy học, lựa chọn nội dung, vận dụng các phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học. Trong quá trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc những kiến thức cơ bản quan trọng để truyền thụ cho học sinh. Đồng thời phải dẫn dắt học sinh biết tìm tòi, phát hiện tri thức mới và từng bước giải quyết các vấn đề đó thông qua các phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong quá trình dạy học, học sinh không ngừng phát huy tính tích cực nhận thức, tự mình rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy giáo viên phải giúp học sinh tự mình khám phá trên cơ sở tự giác và được tự do suy nghĩ, tranh luận, đề xuất các vấn đề cần được giải quyết. Khi học sinh phát hiện được một bài toán hay, điều đó sẽ giúp các em học toán có hiệu quả hơn và được hưởng trọn niềm vui khi tự mình giải được bài toán. Vậy khi dạy học toán là phải biết phát huy tính sáng tạo và khả năng tư duy toán học sẵn có của học sinh, tạo cho các em niềm tin vào môn học này. Đặc trưng của toán học là tính trừu tượng cao độ, tính lôgic và tính thực nghiệm. Vì thế, người giáo viên phải chú ý đến tất cả các phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng là nội dung của chương III sách giáo khoa giải tích 12. Đây là một nội dung khó, đối với học sinh bởi trong các chương trước, học sinh đang làm quen với đạo hàm, còn chương này tính nguyên hàm, tích phân giống như “bài toán ngược” của tính đạo hàm. Bởi vậy học sinh rất lúng túng khi làm các bài toán tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số phức tạp như hàm số hữu tỉ, hàm số vô tỉ và thường gặp phải những khó khăn sau - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân. - Không nắm vững phương pháp đổi biến số. - Không nắm vững phương pháp tính tích phân từng phần. Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ. Sai lầm khi không nắm vững định nghĩa tích phân Ví dụ 1. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Ta có Sử dụng phép đồng nhất thức, ta có - Phân tích sai lầm Học sinh không xét tính liên tục của hàm số trên đoạn và đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại của phép tính tích phân đó. - Lời giải đúng Hàm số không xác định tại x = 2 và x = 3 thuộc đoạn suy ra hàm số không liên tục trên đoạn , do đó tích phân trên không xác định. - Như vậy, cần lưu ý Khi tính tích phân cần xét xem hàm số có liên tục trên đoạn không. Nếu có thì sử dụng các phương pháp đã học để tính tiếp, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. Sai lầm khi sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Ví dụ 2. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau - Phân tích sai lầm Học sinh không xét trường hợp - Lời giải đúng + Trường hợp 1 Với , ta có + Trường hợp 2 Với , ta có - Như vậy, cần lưu ý Với các bài toán chứa tham số, chúng ta cần hết sức thận trọng bởi công thức chỉ đúng khi . Còn khi thì . Ví dụ 3. Tính nguyên hàm - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Học sinh không xét trường hợp - Lời giải đúng + Trường hợp 1 Với , ta có + Trường hợp 2 Với , đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi tính nguyên hàm của hàm số chứa tham số, chúng ta cần lưu ý xét các trường hợp riêng của tham số rồi mới được sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm Ví dụ 4. Tính nguyên hàm - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Phép biến đổi là không tương đương. Do đó, bài giải của học sinh chỉ đúng trong trường hợp . - Lời giải đúng Điều kiện tồn tại của hàm số là Ta xét hai trường hợp + Trường hợp 1 Với , ta có Đặt + Trường hợp 2 Với , ta có Đặt - Như vậy, cần lưu ý Trước khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm cần tìm điều kiện tồn tại của hàm số . Ví dụ 5. Tính nguyên hàm - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Khi đưa ra khỏi căn bậc hai học sinh không chú ý đến dấu của x. - Lời giải đúng + Trường hợp 1 Với , ta có Đặt + Trường hợp 2 Với , ta có Đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm, đặc biệt là hàm số chứa căn bậc hai thì Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân Ví dụ 6. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau - Phân tích sai lầm Phép biến đổi với là không tương đương. - Lời giải đúng - Như vậy, cần lưu ý . Do đó, khi tính ta phải xét dấu hàm số trên đoạn rồi sử dụng tính chất của tích phân tách I thành tổng của các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 7. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Phân tích sai lầm Phép biến đổi không tương đương vì trong đoạn chứa . Nên không thể chia cả tử và mẫu cho được. - Lời giải đúng Xét hàm số Ta có . Do đó - Như vậy, cần lưu ý Khi tính tích phân cần chia cả tử và mẫu cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm . Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số Ví dụ 8. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt . - Phân tích sai lầm Đổi biến nhưng không đổi cận. - Lời giải đúng Đặt Đổi cận Với thì Với thì . - Như vậy, cần lưu ý Khi đổi biến cần phải đổi cận. Ví dụ 9. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Phân tích sai lầm Khi đổi biến , học sinh không lấy vi phân . - Lời giải đúng Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Như vậy, cần lưu ý Khi đổi biến phải lấy vi phân hai vế. Ví dụ 10. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Đổi cận Với thì Với thì Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì cận tích phân lẻ, do đó các em khó tìm ra được đáp số. - Phân tích sai lầm Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức thông thường ta đặt hoặc . Nhưng đối với ví dụ 10, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi ta không thể tìm chính xác được . - Lời giải đúng Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Như vậy, cần lưu ý Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức nếu cận của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới tính tích phân bằng cách đặt hoặc còn nếu không thì phải tìm phương pháp khác. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần Ví dụ 11. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Học sinh nhầm giữa phép lấy vi phân và phép lấy đạo hàm. - Lời giải đúng Đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân của hàm số có chứa thì phải nghĩ ngay đến đặt . Vì nếu đặt thì không xác định được . Đặc biệt không nhầm lẫn giữa tính vi phân và tính đạo hàm. Tuy nhiên, cũng có một số bài tính tích phân hàm số chứa mà đặt thì tính tích phân ban đầu trở nên rất phức tạp. Cụ thể Ví dụ 12. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Cần tính tích phân Đặt Đổi cận thu được tích phân cơ bản - Nhận xét Cách giải này trải qua hai bước là lấy tích phân từng phần và sau đó đổi biến số. Như vậy, cách làm này không đẹp về hình thức, quá dài dòng nên đôi khi dẫn đến sự nhầm lẫn trong tính toán. Đặc biệt khi lấy tích phân từng phần rất ít học sinh tìm được . - Lời giải khác Đặt Đổi cận Với thì Với thì Đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi gặp tích phân có chứa , không nhất thiết phải sử dụng luôn phương pháp tích phân từng phần mà chúng ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến trước để hình thức bài giải được đẹp hơn. - Thông qua hai ví dụ trên, rút ra Khi sử dụng tích phân từng phần để tính tích phân, ta cần phải tuân thủ các nguyên tắc sau 1. Lựa chọn phép đặt sao cho được xác định dễ dàng. 2. Tích phân được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu. Các bài tập tương tự Tính các nguyên hàm và tích phân sau 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. Đối với học sinh - Năm học 2015- 2016 tôi được phân công giảng dạy lớp 12H và 12I. Ban đầu học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải những dạng nguyên hàm, tích phân như đã nêu. Bởi vậy, tôi đã đưa đề tài nghiên cứu này vào trải nghiệm thực tế. Tôi đã hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở tôi đã đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng. - Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 và một số bài tập trong các đề thi thử THPT Quốc Gia thì thấy các em đã thận trọng trong khi trình bày lời giải và đã giải tốt một lượng lớn bài tập đó. - Và đây là kết quả bài kiểm tra của hai lớp 12H, 12I trường THPT Thiệu Hóa + Trước khi áp dụng đề tài TT Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém SL % SL % SL % SL % 1 12H 41 0 0 10 24,4 11 26,8 20 48,8 2 12I 46 0 0 12 26,1 13 28,3 21 45,6 + Sau khi áp dụng đề tài TT Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém SL % SL % SL % SL % 1 12H 41 8 19,5 18 43,9 13 31,7 2 4,9 2 12I 46 10 21,7 21 45,7 12 26,1 3 6,5 Đối với giáo viên - Giáo viên hệ thống được một số sai lầm trong các dạng toán nguyên hàm, tích phân từ đó hướng dẫn học sinh học phần nguyên hàm, tích phân một cách hứng thú, phát huy sáng tạo. - Trên cơ sở này giáo viên tìm ra những phương pháp giảng dạy nguyên hàm, tích phân một cách hiệu quả, thú vị. 3. KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận. Nghiên cứu phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và kì thi THPT Quốc Gia. Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên, bước đầu đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên nếu thành công. Tôi thiết nghĩ, chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác như Sai lầm khi tính đạo hàm, sai lầm khi giải một số phương trình mũ, logarit …… Tôi tin rằng kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, cũng như của thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục mà toàn Đảng, toàn dân ta hằng quan tâm. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Kiến nghị. Đối với nhà trường Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một cuốn sách nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh tìm tòi về những sai lầm thường mắc để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi giải bài tập. Đối với Sở GD&ĐT Những sáng kiến có chất lượng cần được giới thiệu phổ biến đến các trường THPT để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 10 tháng 4 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Tác giả Phạm Thị Hằng Tài liệu tham khảo 1. Giải tích 12 nâng cao- Đoàn Quỳnh Tổng chủ biên- NXB Giáo dục. 2. Phương pháp giải toán tích phân- Lê Hồng Đức Chủ biên- NXB ĐHSP. 3. Giải toán Giải tích 12 tập 2- Lê Hồng Đức Chủ biên- NXB Hà Nội. 4. Phương pháp giải toán tích phân và giải tích tổ hợp- Nguyễn Cam- NXB Trẻ. 5. Bài tập trọng tâm theo 19 chủ đề ôn thi đại học môn Toán- Nguyễn Thế Chinh- NXB Giáo dục. Để giúp các em tránh lỗi sai thường gặp trong đề thi thtp quốc gia môn Toán. Chúng ta cùng chia sẻ kinh nghiệm người Thầy dầy dặn kinh nghiệm ôn luyện thi THPT quốc gia. Toán là môn học 100% thí sinh phải thi trừ các em thi lại. Đáng tiếc là trong tổng số các bài thi bị điểm liệt, môn Toán chiếm gần 80%.Vì thế, Toán được nhiều thí sinh đánh giá là “khó nuốt” nhất. Có rất nhiều thí sinh chăm chỉ học tập, làm tất cả các dạng bài tập nhưng khi đi thi điểm vẫn không cao. Bởi lẽ, khi làm bài thi hầu hết trong số đó các em đều bị mất điểm đáng tiếc ngay ở những câu thi THPT quốc gia đang tới gần, nhiều thí sinh tỏ ra băn khoăn, lo lắng trước môn thi Toán này. Đặc biệt, “sàn đấu” để dành cơ hội bước vào cánh cổng trường đại học ngày càng trở nên căng thẳng và quyết liệt hơn. Vì thế, với kì thi này, từng điểm lẻ cũng rất quý giá, nó có thể quyết định kẻ thắng, người thua. Để giải quyết những băn khoăn của thí sinh chúng tôi đã có cuộc trò chuyện cùng người thầy dày dặn kinh nghiệm ôn thi THPT quốc thi THPT quốc gia đang tới gần, nhiều thí sinh tỏ ra “lo sợ” với môn Toán. Với vai trò là giáo viên kinh nghiệm nhiều năm ôn thi thầy suy nghĩ gì về điều này? Đạt điểm 6-7 môn Toán không phải chuyện quá khó khăn với các em học sinh, đặc biệt là các em có học lực trung bình khá trở lên. Tuy nhiên, rất nhiều thí sinh chủ quan nên thường bị mất điểm ở những câu dễ. Không chỉ học sinh trung bình khá, kể cả các bạn có học lực khá giỏi vẫn thường mắc những lỗi này. Chỉ cần các thí sinh chú ý hơn một chút trong quá trình làm bài thì cơ hội đạt điểm cao môn Toán là điều chúng ta có thể nắm trong tầm xin thầy cho biết khi làm bài thi Toán, thí sinh cần lưu ý những gì?Đối với câu hỏi hàm số và các câu hỏi liên quan, học sinh thường mắc những sai lầm sau Thiếu kí hiệu gốc tọa độ, thiếu x, y, không chia độ; Vẽ đồ thị không có đối xứng, vẽ lơ lửng hay không xác định tọa độ các giao của đồ thị với hai trục một cách chính xác đó là căn cứ để nhìn đồ thị trong khi chấm bài. Ví dụĐồ thị 1 sau đây mắc các lỗi như không đối xứng, thiếu kí hiệu y, kéo quá dài trục ở phần trên và tia đối Ox vẽ quá dàiĐồ thị 2 là đồ thị vẽ đúng Ngoài ra, rất nhiều thí sinh tính đạo hàm sai hoặc tìm nghiệm của y’=0 bị nhầm; Tính toán các điểm cực trị cũng như các yếu tố trên bảng biến thiên bị sai hoặc thay nhầm vào y’.Bên cạnh đó cũng nhiều em xét dấu đạo hàm bị sai hoặc câu tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất quên không nói đến tính liên tục của hàm số trên đoạn [a;b].Với dạng bài tập về phương trình lượng giác; phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, phương trình mũ logarit, học sinh thường mắc các lỗi đáng tiếc như sauQuên ĐKXĐ, giải sai ĐKXĐ đặc biệt phương trình logarit dễ thiếu điều kiện. Đối với những bài ĐKXĐ phức tạp thay vì mất thời gian giải cụ thể thì học sinh chỉ cần viết điều kiện mà chưa cần giải ra ngay. Sau khi giải ra nghiệm của bài toán thì thử lại xem có thỏa mãn điều kiện không rồi kết luận. Lời giải trên là sai vì xét thiếu điều kiện; Không kết hợp ĐKXĐ để loại nghiệm; Liên hợp nhầm; Bình phương hai vế thiếu điều kiện, nhân chéo hai vế thiếu điều kiện; Với câu hỏi số phức Học sinh thường dễ sai ở chỗ xác định phần thực, phần ảo nhưng ở phần ảo vẫn viết thêm đơn vị ảo là i; áp dụng nhầm định nghĩa. Nhiều học sinh tính ra z rồi nhưng lại không nhìn lại xem đề bài yêu cầu gì… Với câu hỏi xác suất tổ hợp, học sinh thường nhầm trong việc xác định không gian mẫu. Đặc biệt, khi xác định số phần tử của biến cố, học sinh thường gặp khó khăn khi xác định dùng tổ hợp hay chỉnh câu hỏi Nhị thức Newton, học sinh hay nhầm dấu khi tìm hệ số của x mũ k phải chú ý biểu thức là tổng hay hiệu, nếu là hiệu thì dễ có hệ số mang dấu âm.Về hình học không gian Học sinh thường tính sai giá trị của thể tích, nhiều khi đến đáp số đúng rồi nhưng khi rút gọn lại bị nhầm dẫn đến mất điểm. Ví dụ trong hình sau Ngoài ra, rất nhiều học sinh có thể ghi nhầm về số mũ tương ứng của thể tích và diện tích. Trong yêu cầu khoảng cách, học sinh dễ nhầm khi chuyển đỉnh để tính. Khi dùng phương pháp tọa độ hóa, học sinh hay dùng sai công thức hoặc tính toán nhầm nhất là khi tích có hướng các vecto. Thưa thầy, xin thầy hãy đưa ra một số lưu ý khi thí sinh làm bài thi môn Toán?Với tất cả các môn thi các em luôn cần trình bày sạch sẽ, rõ ràng để tạo thiện cảm với giám khảo. Đặc thù bộ môn Toán sẽ xuất hiện nhiều chữ số và hình vẽ nên các thí sinh cần sắp sếp một cách có trật tự logic. Với các lỗi sai không nên tẩy xóa hay viết chen phần sửa chỉ cần gạch ngang, hoặc gạch chéo phần làm dạng bài tập chứng minh lập luận cũng cần ngắn gọn, chính xác. Đặc biết, chỉ dùng bút chì khi vẽ đường tròn bằng compa và không được viết cạnh đó, thí sinh cũng cần cẩn trọng trong tính toán, đọc kỹ đề bài gạch chân các ý đề bài đã cho, không được chủ quan với các câu dễ. Phân bố thời gian hợp lí giữa các câu và cần cẩn trọng trong tính toán.Theo Infonet >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt